Kord, korratus ja entroopia

Selgitused cafferloverile ELFIKeldri võlvis
Whaddya mean, Laur ???

Ühtlasi on see sissejuhatuseks laiemale vestlusele, mille ajendit võib näha tõdemusis:

Laur: "Füüsikalises mõttes ei ole korrastatus universumi eesmärk, see on vaid vahend kiiremaks liikumiseks maksimaalse korratuse poole."

Cafferlover: "See on kõige karmim materialism mida ette võib kujutada. Ilma vähimagi väljavaateta. Ja ilma mõtteta."


Vestlus läheb kõvalepõigetega edasi teemade all:
Siinkohal teeme eelsoojendusena selgeks, kuidas mõõta korda ja korratust.


1. Definitsioonid

Laur, 2002-03-25 02:24:17

last but not least - defineeri korratus ja kord.


Definitsioonid kõigepealt. Asugu mingi süsteem olekus i (i = 1 .. N) tõenäosusega pi, kusjuures i=1..N pi = 1. Sel juhul saab defineerida Shannoni entroopia

S = – i=1..N pi ln(pi) .

Mida väiksem entroopia, seda korrastatum on süsteem, mida suurem entroopia, seda korratum. See valem peaks kehtima üldisemalt kui vaid füüsikas (näiteks ka informatsiooniteoorias).

Süsteem on maksimaalselt korrastatud, kui ta asub alati ühes kindlas olekus, st pn = 1, kõik ülejäänud pi = 0. Näiteks 'aaaaaaaaa...'. On lihtne veenduda (arvestades ln(1) = 0, 0 ln(0) = 0 ), et sel juhul Shannoni entroopia S = 0.

Maksimaalse korratuse saame siis, kui süsteem võib asuda mistahes olekus võrdse tõenäosusega pi = 1/N. Näiteks 'nepcfsöaz...'. Väike rehkendus (arvestades ln(1/N) = – ln(N) ) annab nüüd S = ln(N).

Entroopia ei saa olla negatiivne.


Statistilises füüsikas võib tihti eeldada, et süsteemi olekud on võrdse tõenäosusega ning entroopia on antud Boltzmanni valemiga

S = k ln(W) ,

kus k on konstant (fikseerib ühikud) ja W on süsteemi makroolekule vastavate mikroolekute arv.

Süsteemi makroolek on kirjeldatud makroskoopiliste parameetritega nagu ruumala, rõhk jne. Süsteemi mikrooleku määramiseks on aga vaja teada kõigi süsteemi kuuluvate osakeste koordinaate ja impulsse. Kõigi oskakeste kooridnaatide ja impulsside ruumi nimetatakse faasiruumiks. Näiteks kui süsteemis on N punktosakest, siis tema faasiruum on 6N-dimensionaalne. Süsteemi mistahes mikroolekule vastab punkt faasiruumis. Kuna üldjuhul süsteemi kuuluvad osakesed liiguvad ringi, põrkuvad omavahel jne, siis süsteemi mikroolek muutub iga hetkega. Seejuures pole mitte kõik mikroolekud võimalikud, jäävad suurused (süsteemi koguenergia, koguimpulss) peavad olema jäävad.

Sellest vaatepunktist on kõige kõrgema entroopiaga makroolek see, millele vastab kõige rohkem mikoolekuid -- ehk seega makroolek, milline on kõige tõenäolisem.


Olgu kristall absoluutse null temperatuuri juures, kõik osakesed paigal (see on idealisatsioon). Süsteemi makroolekule vastab vaid üks mikroolek, järelikult entroopia on null, süsteem on maksimaalselt korrastatud.

Anname süsteemilie pisut energiat juurde, nii et vähemalt aatom kristallis hakkab natuke võnkuma. Erinevatele võnkeasenditele vastavad süsteemi faasiruumis erinevad mikroolekud, mis tähendab, et süsteemi entroopia pole enam null vaid nullist suurem -- süsteem pole enam maksimaalselt korrastatud.


Entroopiast on mõtet rääkida siis, kui süsteem on statistiline, st tema koosseisu kuuluvate osakeste arv on piisavalt suur nii et saab eristada makro- ja mikroolekuid. Kui süsteemis on vaid üks osake, siis süsteemi makro- ja mikroolek langevad kokku, entroopia null.

Termodünaamika II seadus -- isoleeritud süsteemi entroopia ei kahane -- on tegelikult tõenäosuslik seaduspära. Iga osake süsteemis liigub oma dünaamika seaduste järgi, selle tulemusena süsteem tervikuna nihkub kõige tõenäolisema oleku suunas. Teoreetiliselt on võimalik, et isoleeritud süsteemi entroopia võib kahaneda, kuid mida suurem süsteem, seda väiksem vastava kõrvalekalde tõenäosus.

Teoreetiliselt on võimalik, et teie toas kõik õhus olevad hapniku molekulid kogunevad juhuslikult üheaegselt voodi alla (entroopia väheneb drastiliselt) ning te lämbute oma laua taga. Kuid sellise juhtumi tõenäosus on meeletult, üüratult väike.


Kristalli entroopia peaks olema suurem kui selle kristalli moodustamiseks kulunud gaasilise molekulipilve oma.

Vastupidi. Kristallis on aatomite liikumine piiratud, seega süsteemi võimalike mikroolekute arv on väiksem kui gaasilisel juhul. Nii on jääkristalli entroopia väiksem kui vee entroopia, ning vee entroopia on väiksem veeauru entroopia.

Üldine reegel on, et kui süsteemile anda soojust juurde, siis tema entroopia kasvab. Mis juhtub siis, kui külm ja kuum keha kokku panna? Kehade temperatuurid ühtlustuvad, kuuma keha entroopia väheneb, külma keha entroopia kasvab, kusjuures külma keha entroopia kasvab rohkem, nii et kokkuvõttes entroopia kasvab.

Külmal ööl vesi lombis jäätub, jää entroopia on väiksem kui vee oma. Kas tähendab see, et süsteemi entroopia võib ka väheneda? Lombi entroopia tõepoolest vähenes, kuid samal ajal õhu entroopia suurenes, kuna õhk sai veelt teatud hulga soojust. Kokkuvõttes süsteemi lomp+õhk entroopia suurenes.


Väiksem entroopia tähendab suuremat korrastatust ja seepärast võiks küsida: kumb on enam korrastatud, kas elus inimene või inimese kristallist kuju? Kristallist kuju on korrastatum!


Termodünaamika II seaduse võib sõnastada mitmel viisil ning ka entroopia juures võib välja tuua erinevaid aspekte. Kirjeldatud mikroolekute aspekt haakub ehk kõige otsesemalt korra-korratuse küsimusega, kuid sama ajal mõõdab entroopia näiteks ka seda osa süsteemi energiast, mida on võimalik kasutada tööks.

Ütleme, et keha ripub lae all -- tal on teatav siseenergia (molekulide soojusliikumine) ja potentsiaalne energia (maa gravitatsiooniväljas), kusjuures viimast on võimalik kasutada tööks (näiteks keha allalaskumise arvel vinnata üles mingeid raskusi vm). Ütleme nüüd, et keha kukub maha põrandale, tema potentsiaalne energia läheb kõigepealt üle langemise kineetiliseks energiaks ja pärast kokkupõrget põrandaga siseenergiaks, st keha soojeneb ehk molekulid temas hakkavad kiiremini liikuma-võnkuma. Võrreldes esialgse olekuga entroopia suurenes -- erinevalt potentsiaalsest ja kineetilisest energiast ei saa molekulide juhuslikes suundades toimuva soojusliikumise energiat enam tööks kasutada. Entroopia suurenemist kinnitab ka faasiruumis toimuv -- osakeste kiirused suurenesid ja süsteemi mikroolekud katavad faasiruumi impulsi osas suurema piirkonna kui enne.


Olgu mainitud, et teine võimalus süsteemi korrastatuse määramiseks on kastada korrelatsioonifunktsiooni ja võimsusspektrit. Põhimõtteliselt tähendab see seda, et otsitakse korrelatsiooni osakeste asukohtade (või impulsside) vahel. Näiteks kui osakesed paiknevad enam-vähem ühtlasete vahedega nagu kristallis, siis korrelatsioonifunktsiooni graafikul on vastava kauguse juures näha kõrge kühm. Kui osakesed paiknevad täiesti juhuslikult, siis näitab korrelatsioonifunktsioon vaid ühetasast müra.

Kosmoloogid, kes Universumi suuremastaabilist struktuuri uurivad, arvutavadki vaatlusandmete põhjal galaktikaparvede paiknemise korrelatsioonifunktsioone.

(Ma ei tea, kas seost korrelatsioonifunktsiooni ja entroopia vahel saab kuidagi kvantitatiivselt ka esitada.)


2. Täpsustuseks: kristalli korrapära ja entroopia

Laur, 2002-03-26 01:19:54

Korratus on asjade laiali olek. Võimalikult laiali. Ilma ideeta, ilma (selg)roota, jagunud ruumis nii ühtlaselt kui võimalik.


Mis tähendab ühtlaselt jaotunud? Igas ruumisosas võrdsel hulgal? Selline jaotus võib olla nii korrapärane kui korrapäratu. Tellised seinas on ka ühtlaselt jaotunud (igas ruutmeetris kindel arv), kuid ometi ütleks selle kohta pigem korrastatud kui korratu süsteem.

Niisiis - kristallis on elektronpilv jagunud ruumis võimalikult ühtlaselt, nii nagu sidemed lubavad, ühtlasemalt igatahes võrreldes sama tahkise amorfse faasiga (parandage mind kui eksin). Ka tuumad elektronide vahel on jaotunud ühtlaseimalt. seega peaks kristalli entroopia olema suur.

Tuumad kristallis paiknevad korrapäraselt, järelikult kristalli entroopia on väike (suhteliselt).

Vastasel juhul juba su omi määratlusi kasutades kehtiks mõttekäik:
+ entroopia on korratus
+ kristalli entroopia on suur
---- järelikult kristall on korratu,
mis on aga vastuolus tegelikkusega, kristall on ju väga korrapärane moodustis!


seega peaks kristalli entroopia olema suur. õigemini pole aimugi kui suur ta on, aga tema moodustamisel näituseks reaktsioonis entroopia muutus on positiivne. Muidu ei oleks vabaenergia muut negatiivne ja protsess iseenesest käima juba ei lähe.

Üleminek vedelikust või gaasist kristalliks ei toimugi iseenesest, tuleb soojust ära võtta.

Ok, Gibbsi-Helmholtzi valem
ΔG = ΔH - TΔS .

G Gibbsi vaba energia
H entalpia (muut positiivne, kui keskkond annab süsteemile täiendava soojushulga)
T absoluutne temperatuur
S entroopia
Reaktsioon toimub siis, kui vaba energia muut on negatiivne.

Antud juhul süsteemi entroopia väheneb ( - TΔS positiivne), kuid ka entalpia muut ΔH on negatiivne, sest keskkond saab süsteemilt teatud soojushulga endale (ja keskkonna entroopia kasvab). Nii, et ΔG on negatiivne ning reaktsioon leiab aset.

Kui T-ga läbi jagada, siis ei ütle Gibbsi-Helmholtzi valem põhimõtteliselt muud, kui

ΔSuniversum = ΔSkeskkond + ΔSsüsteem > 0 .


jajah, jää entroopia võib vee omast tõesti väiksem olla

Ei, kipub olema ikka päris üldiselt Stahke < Svedel < Sgaas.


Infot ei kanna mitte bardakk, vaid kristall. Ka DNA on pigem kristall kui bardakk. Järgnevus on Ordnung, aga Ordnung on eesmärk ja muss sein.

Puhas kristall ei kanna mitte mingisugust infot. Selleks, et panna ta infot kandma, tuleb temasse viia mingeid lisandeid (aatomeid) või muuta kristalli segmentide magnetilist orientatsiooni vm, alles nende kõrvalekallete olemasolu ja asukoht hakkab informatsiooni kandma.

Selles suhtes on ehk ootamatu, et sama Shannoni valem mõõdab ka informatsiooni ning selles valemis info = entroopia. Mõte on selles, et info on (sõnumi vastuvõtja poolne) etteaimamatus.

Vaata mõnda "kokkupakitud" (zipitud) teksti ja näed, milline näiline "bardakk" seal valitseb. Asjalood on keerulisemad kui intuitiivne samastus "informatsioon = kord".


Puhas kristall toimib siiski maatriksina...siis ikkagi info Kandjana.

Puhas kristall on nagu puhas tühi paberileht. Infot saab see kandma hakata alles siis, kui sinna "peale" midagi "kirjutada", kutsuda esile kõrvalekaldeid, häiritusi.

Kuidas saada vabaenergia muut võimalikult negatiivseks, mh, ah ? Temperatuur ju ei saa olla negatiivne. õige, entroopiat vähendades.

Vale! Entroopiat suurendades, valemi viimane liige on ju miinusmärgiga.

Aga see on ju makroskoopilise temperatuuriga seotud entroopia.

Keemikutel on tabelid molekulide entroopia jaoks. Rusikareegel on ikka selline, et reaktsioon toimub spontaanselt siis, kui reaktsiooni produkti(de) entroopia on suurem kui reaktantide (algainete) oma. Ehkki entalpia liige Gibbsi valemis komplitseerib olukorda ja teeb ka vastupidise võimalikuks.


Laur, 2002-04-01 00:09:01

ma tahtsin kõik aeg väita, et kristalli korrastatus ei ole üheselt mõistetav asi. Ühtpidi on ta struktureerituim mateeria, teistpidi jälle ruumis kõige ühtlasemalt jagunud mateeria.


Vahest oleks abiks, kui mõelda entroopiast kahest vaatepunktist. Ütleme "absoluutsest", kuivõrd Shannoni valem annab süsteemi entroopiaks mingi arvu, ja "suhtelisest", kas süsteemi entroopia on maksimaalne võimalik või väiksem. See "ühtlasemus" ilmestab eelkõige teist vaatepunkti. Kristalli entroopia on "absoluutsest" vaatepunktist väike (väiksem kui vedelikul näiteks), kuid "suhtelisest" vaatepunktist ikkagi maksimaalne (kui energia fikseeritud).


3. Täpsustuseks: koordinaatolekud, faasiruum jms

Laur, 2002-04-21 00:03:10

huvitav ikkagi miks peaks koordinaatolekute arvu suurenemine reaalset entroopiat kasvatama. Koordinaatolekud peaksid sellised matemaatilised definitsioonid olema.

Statistilise füüsika mõttes süsteemi koordinaatolek on määratud kõigi süsteemi kuuluvate osakeste asukohtadega. Kui üks neist osakestest veidi oma asukohta muudab, siis muutub ka süsteemi koordinaatolek. Kui ruum on suurem, siis on osakestel võimalik seal paikneda suuremal arvul kohtades. Järelikult süsteemi võimalike koordinaatolekute arv on suurem. Mis tähendabki, et süsteemi entroopia on suurem.

Miks peaksid kõik koordinaatolekud üldse täituma ?

Ajad siin vist kvantmehaanikaga midagi sassi? Kuna osakesed liiguvad, siis süsteemi koordinaatolek muutub pidevalt, süsteem "liigub" ühest koordinaatolekust teise. Entroopia juures läheb arvesse koordinaatolekute arv, milles süsteem võib fikseeritud energia juures asuda. Pole tähtis, millises koordinaatolekus süsteem mingil ajahetkel asub, vaid kui palju on ekvivalentseid koordinaatolekuid, milles ta võib asuda.


Laur, 2002-04-23 04:29:38

füüsikud kipuvad defineerima võimalikuks vaid selle, mis kunagi ka aset leiab

Statisilise füüsika eelduseks on see, et süsteemi kuuluvate osakeste liikumist võib lugeda juhuslikuks. Loomulikult iga osakese käitumine eraldi võetuna pole juhuslik, vaid allub dünaamika seadustele, ta põrkub teiste osakestega jne. Ent süsteemi kui terviku käitumise mõistmiseks pole vaja igat osakest järgida.

Aga ka siis, kui arvestada seda lõpmata pika aja jooksul igal juhul aset leidva sündmuse klauslit, ei välista see ikkagi osade võimalike olekute (ajutist) tühjust.

Sa ikka järjekindlalt räägid olekuist aatomi mudeli või ei tea mille mõttes. Et olek võib olla täidetud või tühi. Statistilises füüsikas süsteemi mikroolekud - mida entroopia arvestab - on natuke midagi muud. Fikseeritud hetkel asub süsteem ühes kindlas mikroolekus. Järgmisel hetkel asub ta juba järgmises olekus. Jne. (Eespool olen sellest ju mitu korda kirjutanud.) Küsimus ei ole üldse selles, et kõik olekud peaksid olema samaaegselt täidetud. Vaid selles, kui palju on ekvivalentseid võimalikke olekuid, milles süsteem võib asuda.



edasi järgmise teema juurde: Entroopia korrapärases kärguniversumis,

tagasi indeksisse